Concepto
Los cuadrados mágicos son una forma antiquísima de acertijo numérico, consistente en formar un cuadrado de números cuyas filas, columnas y diagonales sumen lo mismo.
Historia
Dice la leyenda que el primer cuadrado mágico nació en el siglo XXIII a. C. y fue encontrado por el emperador chino de la época en el caparazón de una tortuga que pasaba por el río amarillo. Con este peculiar origen no es de extrañar que siempre hayan tenido un significado cabalístico y mágico, considerando que preservaban de todo tipo de enfermedades.El cuadrado de 2 x 2 es imposible de resolver, lo que hizo que se viese como una imperfección, efecto o consecuencia del pecado. Los árabes utilizaron cuadrados de “n” impar con el 1 en el centro, número que sería la única representación de Alá.
Los cuadrados mágicos llegaron a Europa introducidos por Marco Polo, en el siglo XIII.
Durante la Edad Media se utilizaron como amuletos para buenos o malos encantamientos, asociándolos con la religión, la astrología y la alquimia. También se grababan como amuletos en láminas de plata con la creencia de que mantendrían alejada la peste negra. Los astrólogos y los alquimistas creían que la persona que llevaba una tablilla con la representación de un cuadrado mágico estaba protegida de la desgracia.
El matemático Cornelio Agrippa construyó en el siglo XVI cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9 y les atribuyó un significado astronómico. Para Agrippa representaban simbólicamente a los planetas Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, Saturno, más el Sol y la Luna, respectivamente.
Tipos
Cuadrado mágico de orden 3
Como se observa hemos colocado los números del 1 al 9 de tal forma que si sumamos cada columna da 15; cada fila da también 15; e incluso sumándolos en diagonal el resultado también es 15.
En las dos tablas siguientes podemos observar la cantidad de cuadrados mágicos de orden 3 que se pueden formar tomando nueve números consecutivos (esto se puede extrapolar a multitud de cuadrados de otros órdenes).
Cuadrado mágico de orden 4
Los cuadrados mágicos de orden 4 constan de 4 filas y de cuatro columnas.En el siguiente cuadrado mágico de orden 4 observemos cómo hemos colocado todos los números del 1 al 16 de tal forma que suman lo mismo cada fila, cada columna y en diagonal.
Cuadrado mágico de orden 5
Cuadrado mágico de orden 6
En este cuadrado de orden 6 tenemos distribuidos todos los números del 1 al 36 de tal forma que da el mismo resultado si sumamos cada columna, cada fila o en diagonal.
Cuadrado mágico de orden 7
Cuadrado mágico de orden 8
C. M. Curiosos
Observemos la originalidad de este cuadrado de orden 4
Como ya hemos dicho, los cuadrados mágicos se utilizaron en toda clase de supersticiones, observa este cuadrado mágico de orden 6. Todas sus filas columnas y diagonales suman 666, es decir el número del diablo, por eso es conocido como Cuadrado Mágico Satánico.
Ricemos el rizo de la fantasía y de la magia, porque el siguiente cuadrado mágico (creado por A.W. Johnson) no sólo es satánico, sino que además todos los números que lo integran son números primos.
Nuestro siguiente cuadrado mágico, además de ser peculiar, tiene la particularidad de que fue creado, nada más y nada menos, que por Benjamin Franklin. Y es que el inventor del pararrayos era muy aficionado a estos mágicos pasatiempos.
Entre las propiedades del cuadrado mágico de Franklin podemos observar las siguientes:
2) Cada fila suma 260
3) Cada columna suma 260
4) La primera mitad de cualquier fila suma 130
5) La segunda mitad de cualquier fila suma 130
6) La primera mitad y la segunda mitad de cada columna suman 130
7) Los cuatro números de las esquinas más los cuatro números del centro suman 260
8) La suma de los cuatro números de cualquier cuadrado de 2 x 2 es 130
9) Los cuatro números de una diagonal que sube más los cuatro números de la diagonal respectiva que bajan suma 260.
Métodos de Resolución
1.- Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Loubere
El primer método para la construcción de cuadrados mágicos de orden impar se debe a De La Loubere que fue embajador de Luis XIV en Siam los años 1687 y 1688, y publicó en 1691 "Du royaume de Siam", en el que dio a conocer su método de construcción de cuadrados impares. Veamos en qué consiste construyendo un cuadrado mágico de orden 5. Para comprender mejor el método vamos a llamar a cada celda por su fila y columna, es decir:
Nos imaginamos que nuestro cuadrado es un cilindro ‘imposible’, es decir, nos imaginamos que las filas 1 y 5 están unidas, así como las columnas 1 y 5. Y empezamos colocando primero el 1 en la posición central de la fila superior (1,3) y vamos rellenando en diagonal, es decir, el 2 se coloca en la posición (5,4) (fila 5, columna 4), el 3 en la posición (4,5), el 4 en la (3,1), y así sucesivamente. Cuando al intentar colocar un número en la posición que debe ocupar nos la encontramos ya ocupada colocamos ese número justo debajo del último que hemos colocado y continuamos colocando en diagonal. Veámoslo en varios pasos:
2.- Cuadrados mágicos de orden impar: Método de Bachet
Otro método para construir cuadrados mágicos de orden impar es el método de Bachet, diseñado por el matemático francés Claude-Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638), es un método muy visual y sencillo. Vamos a utilizarlo para construir un cuadrado mágico de orden 5.Tenemos que crear el siguiente dibujo y distribuir los números de forma consecutiva y de esta forma:
Los números que han quedado dentro del cuadrado de 5 por 5 los dejamos, y colocamos los números que han quedado fuera del cuadrado en las posiciones opuestas que quedaron libres. De esta forma nos quedará el siguiente cuadrado mágico de orden 5 (puedes comprobar que las sumas de filas, columnas y diagonales dan 65).
3.- Cuadrados mágicos de orden 4k
Vamos a construir un cuadrado mágico de orden 4k y lo rellenamos con los números del 1 al (4k)2 dispuestos de forma consecutiva (en nuestro ejemplo, el valor de k es 2, y los números serán, por lo tanto, del 1 al 64). A la vez dividimos el cuadrado grande en submatrices cuadradas de orden 4, tal como se muestra en la figura.
A continuación, tachamos cada submatriz con una X.
Los números que están situados en celdas por donde no pasan las X se mantienen en su lugar, y por los que sí pasa la X los vamos a intercambiar con su simétrico, invirtiendo de esta forma el orden en que han sido colocados en el cuadrado.
Y de esta forma, ya hemos construido un cuadrado mágico de orden 8, que a su vez tiene en su interior otros cuadrados mágicos de orden 4.
